收敛数列一定有界吗(收敛数列一定有界)
收敛数列一定有界吗(收敛数列一定有界)
1、收敛数列一定是有界的，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。
1、函数则不一样。所以收敛函数有界的说明中是说，如果函数在无穷远处收敛，那么必然存在一个足够接近与无穷远的区间，使得该区间上函数有界；如果函数在某点收敛，那么必然存在一个该点的临域，使得函数在该区间上有界。
2、收敛数列一定有界。本质就是收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）有界数列不一定收敛，（反例，数列｛（-1）^n}是有界的，但它却是发散的。
3、所以：数列收敛=数列存在唯一极限。收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
4、因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数，nN时，都有 （nN），从而有 。取，则对一切的n，都有，所以数列有界。根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。例如，数列是有界的。因为，但它却是发散的（见例4）。
5、发散，因为n趋于无穷大，而1/n趋于0，这个数列没有极值存在，趋于无穷大。
1、收敛数列一定有界。本质就是收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）有界数列不一定收敛，（反例，数列｛（-1）^n}是有界的，但它却是发散的。
2、所以收敛能推出有界，所以是必要条件。正确。
3、对，收敛数列一定有界，但不一定上下界都有。有界是存在极限的必要条件，但有界不一定就有极限。
