椭圆积分及其应用(legendre)
椭圆积分及其应用(legendre)
确定问题的类型：要正确应用椭圆函数，我们需要确定问题的类型。椭圆函数主要用于解决周期性问题，如波动、振动和晶体结构等问题。如果问题涉及到这些方面，我们可以考虑使用椭圆函数来解决。选择合适的椭圆函数：根据问题的具体特点，我们需要选择合适的椭圆函数。
一种，保持等体积、等温度，于是考虑式子里引入 dV， dT。这种体系对应于那些体积不变、温度不变的系统，许多不是体积保持不变的系统里，近似认为体积不变也是一个很好的近似。自由能就是描述等体积、等温度系统的热力学函数，对应于正则系综。
计算公式是△rGm=△rGmΦ+RTInQ，吉布斯自由能是指在化学热力学中为判断过程进行的方向而引入的热力学函数，又称自由焓、吉布斯自由能或自由能。自由能指的是在某一个热力学过程中，系统减少的内能中可以转化为对外做功的部分。
物理意义是：在等温等压的平衡态封闭系统，吉布斯函数的减少量可以衡量体系输出的非体积功。（1）G：吉布斯自由能 是在化学热力学中为判断过程进行的方向而引入的热力学函数，又称自由焓、吉布斯自由能或自由能。
吉布斯自由能是一个人造的物理量，定义为G=H-TS。常见的化学过程多为定温定压（系统的温度和压力不变，并且和环境相等）条件下进行，或者可以近似为定温定压。
吉布斯自由能随温度和压强变化很大。为了求出非标准状况下的吉布斯自由能，可以使用范特霍夫等温公式：ΔG = ΔG0 + RT·ln Q 其中，ΔG0是同一温度、标准压强下的吉布斯自由能，R是气体常数，Q是反应熵。温度的变化在ΔG0的使用上表现出来，不同的温度使用不同的ΔG0。
计算公式为：G = H - T S 其中，G为吉布斯自由能，单位为焦耳（J）。H为系统的总热力学能量，即系统的内能，单位为焦耳（J）。T为温度，单位为摄氏度（℃）。S为系统的熵，单位为焦耳每摄氏度（J/℃）。
根据欧拉符号（Legendre symbol）的定义，对于一个素数 p 和一个整数 a，（a/p） 可以等于 -1 或 0。如果 （3/p） = -1，那么意味着 3 不是模 p 的二次剩余。换句话说，方程 x^2 ≡ 3 （mod p） 没有整数解。根据二次剩余的性质，当 p 是 3 或 3 的倍数时，（3/p） = 0。
如果方程有解， 称为 的二次剩余，否则叫二次非剩余。为方便描述，这里先引进 勒让德（Legendre）符号 ，并且勒让德符号或函数有三个取值，当 为 的二次剩余时其值为1，否则为 1，当 时值为 0。 考虑将 的既约剩余系分为对称的两部分 和 ，显然 ，而当 时， ，所以 。
欧几里得算法：欧几里得算法是一种求最大公约数的算法，它是初等数论中最基本的算法之一。中国剩余定理：中国剩余定理是一个关于同余方程组的定理，它在密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。费马小定理：费马小定理是一个关于模幂运算的定理，它在密码学和计算机科学等领域也有着广泛的应用。
Legendre符号或称二次特征，是一个狄利克雷特征。参考资料：[1]^ A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris 1798， p 186 [2]^ 在欧拉（1783年）和勒让德（1786年）的作品中有所讲述。
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。计算数论是包含在高等数论里的。区别：初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。
1、在[-1，1]上关于权函数P（x）=1的正交多项式为勒让德多项式。
2、legendre多项式递推公式推导，相关内容如下：名字由来 勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足|x|1时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n为非负整数，即n=0，1，2，...时，在x=±1点亦有有界解。
3、勒让德多项式具有以下性质：正交性：对于任意两个不同的整数n和l，它们的勒让德多项式在区间【-1，1】上满足正交的关系。这意味着它们是在该区间上的内积为零。归一化：勒让德多项式的总和等于零。这意味着它们在该区间上的积分是为零。
1、苏颂（1020至1101），宋代天文学家，数学家。 羊种辅助（出生和亡的不祥年），宋代天文学家。 ，元代天文学家郭守敬（1231至1316）。 王迅（1235至1281），元代天文学家，数学家。 兴云路，（），明代天文学家。 徐光启（1562年至1633年），明末杰出的科学家和天文学家。 薛丰琢（1600至1680年），数学家，天文学家，明，清。
2、第一位：“数学之神”——阿基米德 阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。
3、毕达哥拉斯（古希腊）毕达哥拉斯，约公元前580年~约前500（490）年，古希腊伟大的数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中萨摩斯岛的贵族家庭，曾被誉为现代数学之父。毕达哥拉斯学派也称＂意大利学派＂，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织，由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。
4、莱昂哈德·欧拉（德语：Leonhard Euler，台湾旧译尤拉，1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。
